Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4728

Постройте график функции y= минус 6 плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби x в степени 5 .

Спрятать решение

Решение.

Запишем функцию в виде y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби (x в степени 5 минус 20x в квадрате минус 48). Это многочлен пятой степени, поэтому функция непрерывна, а график не имеет асимптот. Точка пересечения с осью ординат, очевидно, x=0 и y= минус 6. Поскольку x=2 является корнем данного многочлена и

x в степени 5 минус 20x в квадрате минус 48=(x минус 2)(x в степени 4 плюс 2x в кубе плюс 4x в квадрате минус 12x минус 24)=
= (x минус 2)(x минус 2)(x в кубе плюс 4x в квадрате плюс 12x плюс 12)=(x минус 2) в квадрате (x в кубе плюс 4x в квадрате плюс 12x плюс 12),

то точкой пересечения с осью абсцисс будет x= плюс 2, y=0 и еще одна точка — соответствующая корню кубического уравнения. Решим его с помощью метода Кардано:

x в кубе плюс 4x в квадрате плюс 12x плюс 12=0 \Rightarrow 27x в кубе плюс 108x в квадрате плюс 324x плюс 324=0 равносильно
 равносильно (3x плюс 4) в кубе плюс 180x плюс 260=0 равносильно (3x плюс 4) в кубе плюс 60(3x плюс 4) плюс 20=0.

Обозначим 3x плюс 4=t, тогда t в кубе плюс 60t плюс 20=0. Очевидно f(t)=t в кубе плюс 60t плюс 20 — возрастающая функция, поэтому уравнение имеет единственный корень. он лежит на промежутке ( минус 1; 0), поскольку f(0)=20 больше 0 и f( минус 1)= минус 41 меньше 0.

Пусть t=u плюс v, причем u в кубе плюс v в кубе = минус 20 и uv= минус 20, тогда

t в кубе плюс 60t плюс 20=(u плюс v) в кубе плюс 60(u плюс v) плюс 20=
=u в кубе плюс v в кубе плюс 3uv(u плюс v) плюс 60(u плюс v) плюс 20= минус 20 минус 60(u плюс v) плюс 60(u плюс v) плюс 20=0,

поэтому такое t будет корнем. Осталось найти такие u и v. Поскольку u в кубе v в кубе = минус 8000, числа u в кубе и v в кубе должны быть корнями уравнения k в квадрате плюс 20k минус 8000=0, откуда k= минус 100 или k=80 и, следовательно,

t= корень из [ 3] минус 100 плюс корень из [ 3]80= минус 10 в степени (\textstyle дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ) плюс 2 умножить на 10 в степени (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ) ,

тогда

x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (t минус 4)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ( минус 10 в степени (\textstyle дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ) плюс 2 умножить на 10 в степени (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ) минус 4) принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

Возьмем производную изначальной функции,

y'= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби (5x в степени 4 минус 40x)= минус дробь: числитель: 5x, знаменатель: 8 конец дроби (x в кубе минус 8)= минус дробь: числитель: 5x, знаменатель: 8 конец дроби (x минус 2)(x в квадрате плюс 2x плюс 4).

Исследуя знак этого выражения методом интервалов (последний множитель всюду положителен), получим y' больше 0 при x принадлежит (0; 2) и y' меньше 0 при x принадлежит ( минус принадлежит fty; 0)\cup (2; плюс принадлежит fty). Поэтому функция возрастает на промежутке (0; 2), убывает на промежутках ( минус принадлежит fty; 0) и (2; плюс принадлежит fty). Значит, x=2 — точка максимума, а x=0 — точка минимума. При этом y(2)=0, y(0)= минус 6. График представлен на рисунке.

 

Ответ: см. рисунок.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4723

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1989 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Построение графиков функций, графиков уравнений
?
Сложность: 4 из 10