№ 4723 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 17. Экстремумы, монотонность, исследование функций
i
Постройте график функции 
Решение. Запишем функцию в виде 
Это многочлен пятой степени, поэтому функция непрерывна, а график не имеет асимптот. Точка пересечения с осью ординат, очевидно, 
и 
Поскольку 
является корнем данного многочлена и
то точкой пересечения с осью абсцисс будет 
и еще одна точка — соответствующая корню кубического уравнения. Решим его с помощью метода Кардано:
Обозначим 
тогда 
Очевидно 
— возрастающая функция, поэтому уравнение имеет единственный корень. он лежит на промежутке 
поскольку 
и 
Пусть 
причем 
и 
тогда
поэтому такое t будет корнем. Осталось найти такие u и v. Поскольку 
числа 
и 
должны быть корнями уравнения 
откуда 
или 
и, следовательно,
тогда
Возьмем производную изначальной функции:
Исследуя знак этого выражения методом интервалов (последний множитель всюду положителен), получим 
при 
и 
при 
Поэтому функция возрастает на промежутке 
убывает на промежутках 
и 
Значит, — точка максимума, а — точка минимума. При этом 
График представлен на рисунке.
Ответ: см. рисунок.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: см. рисунок.
Задание парного варианта: 4728
