Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4719
i

Ис­сле­дуй­те функ­цию y=3x минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби и по­строй­те ее гра­фик.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на  R , не­чет­на. Ее гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат. Решим урав­не­ние y  =  0:

3x минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби =0 рав­но­силь­но 27x минус x в кубе =0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка 27 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,x= минус 3 ко­рень из 3 , x=3 ко­рень из 3 . конец со­во­куп­но­сти .

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции пе­ре­се­ка­ет оси ко­ор­ди­нат в точ­ках  левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из 3 ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 0; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 3 ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Про­ме­жут­ки зна­ко­по­сто­ян­ства от­ме­тим на ри­сун­ке. Най­дем про­из­вод­ную:

y' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 9 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точ­ках −3 и 3. Изоб­ра­зим знаки про­из­вод­ной и по­ве­де­ние функ­ции на ри­сун­ке. Функ­ция убы­ва­ет на лучах  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Ми­ни­мум до­сти­га­ет­ся в точ­ках −3:

y_\min=y левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 9 плюс дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = минус 6.

Мак­си­мум в силу не­чет­но­сти функ­ции про­ти­во­по­ло­жен ми­ни­му­му: y_\max= минус y_\min=6. Гра­фик функ­ции изоб­ра­жен на ри­сун­ке.

Ответ: см. рис.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4714

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1989 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, По­стро­е­ние гра­фи­ков функ­ций, гра­фи­ков урав­не­ний
?
Сложность: 5 из 10