Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4719

Исследуйте функцию y=3x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 9 конец дроби и постройте ее график.

Спрятать решение

Решение.

Функция определена и дифференцируема на  R , нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат. Решим уравнение y = 0:

3x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 9 конец дроби =0 равносильно 27x минус x в кубе =0 равносильно x(27 минус x в квадрате )=0 равносильно совокупность выражений x=0,x= минус 3 корень из 3 , x=3 корень из 3 . конец совокупности .

Следовательно, график функции пересекает оси координат в точках ( минус корень из 3 ; 0), (0; 0) и ( корень из 3 ; 0). Промежутки знакопостоянства отметим на рисунке. Найдем производную:

y'(x)=3 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (9 минус x в квадрате )= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (3 минус x)(3 плюс x).

Производная обращается в нуль в точках −3 и 3. Изобразим знаки производной и поведение функции на рисунке. Функция убывает на лучах ( минус принадлежит fty ; минус 3] \cup [3; плюс принадлежит fty ), на отрезке [ минус 3; 3]. Минимум достигается в точках −3:

y_\min=y( минус 3)= минус 9 плюс дробь: числитель: 27, знаменатель: 9 конец дроби = минус 6.

Максимум в силу нечетности функции противоположен минимуму: y_\max= минус y_\min=6. График функции изображен на рисунке.

Ответ: см. рис.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4714

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1989 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Исследование функций, Построение графиков функций, графиков уравнений
?
Сложность: 5 из 10