Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4670

Решите систему  система выражений дробь: числитель: | косинус x|, знаменатель: косинус x конец дроби = косинус 2x минус 1,x в квадрате минус 3 Пи x плюс 2 Пи в квадрате меньше или равно 0. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим два случая:

1) если  косинус x больше 0, то первое уравнение дает 1= косинус 2x минус 1, откуда  косинус 2x=2, что невозможно;

2) если  косинус x меньше 0, то первое уравнение дает

 минус 1= косинус 2x минус 1 равносильно  косинус 2x=0 равносильно 2x= Пи k плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , k принадлежит Z .

На самом деле это четыре набора чисел:  2 Пи k плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , 2 Пи k плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , 2 Пи k плюс дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , 2 Пи k плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби . Но для первого и четвертого наборов  косинус x больше 0. Поэтому годятся лишь второй и третий наборы.

Неравенство из системы дает (x минус Пи )(x минус 2 Пи ) меньше или равно 0, откуда x принадлежит [ Пи ; 2 Пи ]. На этом отрезке из всего вышеуказанного набора лежит лишь точка x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ: \left \ дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4676

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1990 год, работа 6, вариант 1
? Классификатор: Системы тригонометрических уравнений
?
Сложность: 7 из 10