Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4666
i

При каких дей­стви­тель­ных зна­че­ни­ях a функ­ция

y=ax минус 5 синус x ко­си­нус x плюс 12 синус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка

убы­ва­ет на все об­ла­сти опре­де­ле­ния?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем функ­цию и возь­мем ее про­из­вод­ную.

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =ax минус 5 синус x ко­си­нус x плюс 6 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =

=ax минус 5 синус x ко­си­нус x плюс 6 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =ax минус 5 синус x ко­си­нус x плюс 6 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =

=ax минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 синус x ко­си­нус x плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 6 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка = ax минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x минус 6 ко­си­нус 2x плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =

=ax минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби синус 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Вы­бе­рем угол \varphi так, чтобы  ко­си­нус \varphi= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби и  синус \varphi= дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби . Это воз­мож­но, по­сколь­ку сумма квад­ра­тов этих чисел равна 1, за­од­но это объ­яс­ня­ет, как мы до­га­да­лись вы­не­сти за скоб­ки имен­но  дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тогда

ax минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби синус 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = ax минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус \varphi синус 2x плюс синус \varphi ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =

=ax минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус левая круг­лая скоб­ка \varphi плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Тогда

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \varphi плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2=a минус 13 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \varphi плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Если мы хотим, чтобы функ­ция всюду убы­ва­ла, это вы­ра­же­ние долж­но быть всюду не­по­ло­жи­тель­ным. Зна­чит, a мень­ше или равно минус 13, по­сколь­ку мак­си­маль­ное зна­че­ние a минус 13 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \varphi плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка равно a минус 13 левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =a плюс 13. Этого и хва­тит, по­сколь­ку при таких a про­из­вод­ная всюду не­по­ло­жи­тель­ная, при­чем равна нулю толь­ко в ко­неч­ном числе точек на любом от­рез­ке.

 

Ответ: a мень­ше или равно минус 13.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4660

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1990 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи с па­ра­мет­ром, При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 9 из 10