Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4628
i

Най­ди­те такое дей­стви­тель­ное число z, что сумма |z минус 3i минус 1| плюс |z плюс 6i минус 7| ми­ни­маль­на.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вы­ра­же­ние \absz минус 3i минус 1 плюс \absz плюс 6i минус 7 пред­став­ля­ет собой сумму рас­сто­я­ний от точки z до точек 1 плюс 3i и 7 минус 6i. Эта сумма по не­ра­вен­ству тре­уголь­ни­ка не пре­вос­хо­дит рас­сто­я­ния между дан­ны­ми двумя точ­ка­ми и равна ему толь­ко тогда, когда лежит на со­еди­ня­ю­щем их от­рез­ке. Со­ста­вим урав­не­ние пря­мой, про­хо­дя­щей через точки  левая круг­лая скоб­ка 1;3 пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка 7; минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка

 дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 7 минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: y минус 3, зна­ме­на­тель: минус 6 минус 3 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: y минус 3, зна­ме­на­тель: минус 9 конец дроби рав­но­силь­но 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 левая круг­лая скоб­ка y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 3x минус 3= минус 2y плюс 6 рав­но­силь­но 3x плюс 2y минус 9=0.

Нам нужна точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с осью абс­цисс. Если y=0, то x=3, таким об­ра­зом z_min=3.

 

Ответ: 3.

 

Ука­за­ние.

Ис­ко­мое число  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой y= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби с осью Ox.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2983

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2006 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми , Рас­сто­я­ние между точ­ка­ми, плос­ко­стя­ми
?
Сложность: 9 из 10