Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4567

Исследуйте функцию f(x)=x в квадрате минус 6x плюс 8 корень из (x) на монотонность.

Спрятать решение

Решение.

Область определения функции — луч [0; плюс принадлежит fty ). Найдем нули производной:

f'(x)=2x минус 6 плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из (x) конец дроби ;

2x минус 6 плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из (x) конец дроби =0 равносильно 2x корень из (x) минус 6 корень из (x) плюс 4=0.

Пусть  корень из (x) =t. Решим уравнение

2t в кубе минус 6t плюс 4=0 равносильно t в кубе минус 3t плюс 2=0 равносильно (t минус 1)(t в квадрате плюс t минус 2)=0 равносильно совокупность выражений t= минус 2, t=1. конец совокупности .

Таким образом,

 совокупность выражений корень из (x) = минус 2, корень из (x) =1 конец совокупности . равносильно корень из (x) =1 равносильно x=1.

Определив знаки производной слева и справа от найденного корня (см. рис.), заключаем, что производная положительна на интервале (0; 1) и на открытом луче (1; +∞). Следовательно, функция возрастает на области определения.

 

Ответ: функция возрастает на луче [0; +∞).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4573

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2004 год, вариант 1
? Классификатор: Применение производной к решению задач
?
Сложность: 7 из 10