Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4549

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в кубе и y= корень из (2x) .

Спрятать решение

Решение.

Найдем сначала точки пересечения этих графиков. Решая уравнение  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в кубе = корень из (2x) , получим x в кубе =4 корень из (2x) равносильно x в степени 6 =32x, равносильно x(x в степени 5 минус 32)=0, откуда x=0 или x=2.

Выбирая произвольное число на промежутке (0;2), например x=1, получаем  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 1 в кубе = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше корень из (2) = корень из (2 умножить на 1) , поэтому график функции y= корень из (2x) проходит выше графика функции y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в кубе . Тогда площадь равна

S= принадлежит t\limits_0 в квадрате ( корень из (2x) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в кубе )dx= принадлежит t\limits_0 в квадрате ( корень из (2) x в степени (1/2) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в кубе )dx=\dvpod корень из (2) умножить на дробь: числитель: x в степени (3/2) , знаменатель: 3/2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби 02=
= \dvpod дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби корень из (2) x в степени (3/2) минус дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 16 конец дроби 02= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби корень из (2) умножить на 2 в степени (3/2) минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 16 конец дроби минус 0 плюс 0= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби корень из (2) умножить на 2 корень из (2) минус 1= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 4 минус 1= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби минус 1= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4543

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2002 год, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 7 из 10