Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4548

Решите уравнение 4 минус 3 в степени (x) =|3 в степени (x) минус 4| умножить на \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби дробь: числитель: 3x плюс 12, знаменатель: 2x плюс 5 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Разберем три случая. При x= логарифм по основанию 3 4 больше 0 обе части уравнения равны нулю и выражение под логарифмом положительно (поэтому логарифм определен). Значит, это корень.

При x больше логарифм по основанию 3 4 получаем 3 в степени x больше 4 и получаем 4 минус 3 в степени x =(3 в степени x минус 4) логарифм по основанию (1/2) дробь: числитель: 3x плюс 12, знаменатель: 2x плюс 5 конец дроби . Деля обе части уравнения на 3 в степени x минус 4 не равно 0, получим

 логарифм по основанию (1/2) дробь: числитель: 3x плюс 12, знаменатель: 2x плюс 5 конец дроби = минус 1 равносильно дробь: числитель: 3x плюс 12, знаменатель: 2x плюс 5 конец дроби =2 равносильно 3x плюс 12=2(2x плюс 5) равносильно 3x плюс 12=4x плюс 10,

откуда x=2 и условие x больше логарифм по основанию 3 4 выполняется.

При x меньше логарифм по основанию 3 4 получаем 3 в степени x меньше 4 и получаем 4 минус 3 в степени x =(4 минус 3 в степени x ) логарифм по основанию (1/2) дробь: числитель: 3x плюс 12, знаменатель: 2x плюс 5 конец дроби . Деля обе части уравнения на 4 минус 3 в степени x не равно 0, получим

 логарифм по основанию (1/2) дробь: числитель: 3x плюс 12, знаменатель: 2x плюс 5 конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: 3x плюс 12, знаменатель: 2x плюс 5 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2(3x плюс 12)=2x плюс 5 равносильно 6x плюс 24=2x плюс 5 равносильно 4x= минус 19,

откуда x= минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 4 конец дроби и условие x больше логарифм по основанию 3 4 выполняется.

 

Ответ: \left\ логарифм по основанию 3 4; минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 4 конец дроби ;2 \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4542

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 2002 год, вариант 2
? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы, Показательные уравнения и их системы
?
Сложность: 6 из 10