Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4506

Решите неравенство  дробь: числитель: (2x минус 5)(32 в степени ( \textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ) минус 4), знаменатель: (3 в степени (x) минус 8)(x в степени (4) плюс 4x плюс 20) конец дроби больше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

Прежде всего отметим, что многочлен x в степени (4) } плюс 4x плюс 20 положителен при всех значениях x. Действительно, его производная 4x в кубе плюс 4 обращается в ноль только при x = минус 1. Это единственная точка минимума, следовательно, значение много члена при x = минус 1 — наименьшее, оно равно 17.

Таким образом, данное неравенство равносильно неравенству

 дробь: числитель: (2x минус 5) левая круглая скобка 32 в степени (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x) минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени x минус 8 конец дроби больше или равно 0.

Выделим теперь точки, в которых левая часть неравенства не существует или обращается в ноль. Не существует при x = 0 и x = логарифм по основанию 3 8. Обращается в ноль при x = 2,5, причем эта точка кратности 2. Отметим найденные точки на числовой оси и применим метод интервалов. Так как при x = 5

 дробь: числитель: (2 умножить на 5 минус 5) левая круглая скобка 32 в степени ( \textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 5) минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени 5 минус 8 конец дроби = дробь: числитель: минус 10, знаменатель: 3 в степени 5 минус 8 конец дроби меньше 0,

то распределение знаков по интервалам будет выглядеть так (см. рис.):

Таким образом, неравенство выполняется при 0 меньше x меньше логарифм по основанию 3 8 и x = 2,5.

Ответ: 0 меньше x меньше логарифм по основанию 3 8, x = 2,5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4512

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 1999 год, вариант 1
? Классификатор: Показательные неравенства
?
Сложность: 6 из 10