РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4506

Решите неравенство $дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 32 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 4x плюс 20 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

Спрятать решение

Решение.

Прежде всего отметим, что многочлен $x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка } плюс 4x плюс 20$ положителен при всех значениях $x.$ Действительно, его производная $4x в кубе плюс 4$ обращается в ноль только при $x = минус 1.$ Это единственная точка минимума, следовательно, значение много члена при $x = минус 1$   — наименьшее, оно равно 17.

Таким образом, данное неравенство равносильно неравенству

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 32 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени x минус 8 конец дроби больше или равно 0.$

Выделим теперь точки, в которых левая часть неравенства не существует или обращается в ноль. Не существует при $x = 0$ и $x = логарифм по основанию 3 8.$ Обращается в ноль при $x = 2,5,$ причем эта точка кратности 2. Отметим найденные точки на числовой оси и применим метод интервалов. Так как при $x = 5$

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2 умножить на 5 минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 32 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 5 правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени 5 минус 8 конец дроби = дробь: числитель: минус 10, знаменатель: 3 в степени 5 минус 8 конец дроби меньше 0,$

то распределение знаков по интервалам будет выглядеть так (см. рис.):

Таким образом, неравенство выполняется при $0 меньше x меньше логарифм по основанию 3 8$ и $x = 2,5.$

Ответ: $0 меньше x меньше логарифм по основанию 3 8,$ $x = 2,5.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4512

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 1999 год, вариант 1

? Классификатор: Показательные неравенства

Сложность: 6 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь