РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4503

Найдите общие точки графика функции $x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2x в кубе минус 3x в квадрате плюс 5x плюс 1$ и прямой $y=x минус 3.$ В каких из этих точек прямая является касательной к графику?

Спрятать решение

Решение.

Приравняв правые части данных функций, найдем абсциссы точек пересечения их графиков:

$x в степени 4 минус 2x в кубе минус 3x в квадрате плюс 5x плюс 1 = x минус 3 равносильно x в степени 4 минус 2x в кубе минус 3x в квадрате плюс 4x плюс 4 = 0.$

Один из корней уравнения равен $минус 1.$ Для того, чтобы найти другие корни, воспользуемся схемой Горнера:

	1	−2	−3	4	4
x₁  =  −1	1	−3	0	4	0
x₂  =  −1	1	−4	4	0
x₃  =  2	1	−2	0
x₄  =  2	1	0

Итак, получили две точки пересечения графиков: $левая круглая скобка минус 1; минус 4 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 2; минус 1 правая круглая скобка .$ Чтобы проверить, в каких из этих точек прямая $y = x минус 3$ является касательной к графику функции, составим уравнение касательной в этих точках. Для составления уравнения касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ используем известный алгоритм:

$y' левая круглая скобка x правая круглая скобка = 4x в кубе минус 6x в квадрате минус 6x плюс 5.$

Уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0 = минус 1$ запишется в виде $y = y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс y' левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка ,$ откуда $y = x минус 3.$

Уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0 = 2$ запишется в виде $y = y левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс y' левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка ,$ откуда $y = x минус 3.$

Следовательно, в обеих точках прямая $y = x минус 3$ является касательной к графику.

Ответ: $левая круглая скобка 2; минус 1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка минус 1; минус 4 правая круглая скобка ;$ в обоих точках прямая $y = x минус 3$ является касательной к графику.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4497

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 1998 год, вариант 2

? Классификатор: Касательная к графику функции

Сложность: 9 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь