Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4477
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции y=9x минус x в кубе и ка­са­тель­ной к этому гра­фи­ку в его точке с абс­цис­сой 3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции y = 9x минус x в кубе в его точке с абс­цис­сой 3 имеет вид: y_кас = y левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y' левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть y_кас = минус 18x плюс 54.

Най­дем абс­цис­сы общих точек ка­са­тель­ной и гра­фи­ка функ­ции y = 9x минус x в кубе :

9x минус x в кубе = минус 18x плюс 54 рав­но­силь­но x в кубе минус 27x плюс 54 = 0.

Раз­ло­жив левую часть на мно­жи­те­ли по­лу­чим:

 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = 3,x = минус 6. конец со­во­куп­но­сти .

Изоб­ра­зим, вы­брав со­от­вет­ству­ю­щий мас­штаб, эти гра­фи­ки и ис­ко­мую пло­щадь (см. рис). Най­дем пло­щадь:

S = ин­те­грал пре­де­лы: от 3 до минус 6, левая круг­лая скоб­ка минус 18x плюс 54 минус 9x плюс x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка dx =

 = ин­те­грал пре­де­лы: от 3 до минус 6, { левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 27x плюс 54 пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 54x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 3 до минус 6, = 506,25.

 

Ответ: 506,25.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4467

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1996 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 7 из 10