Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4467
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции y=x в кубе минус 4x и ка­са­тель­ной к этому гра­фи­ку в его точке с абс­цис­сой 2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем сна­ча­ла урав­не­ние ка­са­тель­ной  левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка '=3x в квад­ра­те минус 4, по­это­му y' левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 умно­жить на 4 минус 4=8, а y левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в кубе минус 4 умно­жить на 2=0. Итак, урав­не­ние ка­са­тель­ной имеет вид y=8 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 0 или y=8x минус 16.

Най­дем те­перь точки пе­ре­се­че­ния ка­са­тель­ной и гра­фи­ка функ­ции

 x в кубе минус 4x=8x минус 16 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =8 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =8 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

по­это­му абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния это x=2 (что было по­нят­но) и x= минус 4. Вы­бе­рем про­из­воль­ную точку между ними, на­при­мер x=0. Тогда y левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, а 8 умно­жить на 0 минус 16=16 мень­ше 0, по­это­му на дан­ном про­ме­жут­ке гра­фик функ­ции про­хо­дит выше ка­са­тель­ной. Те­перь можно за­пи­сать фор­му­лу для пло­ща­ди

S= при­над­ле­жит t\limits_ минус 4 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 4x минус левая круг­лая скоб­ка 8x минус 16 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t\limits_ минус 4 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 12x плюс 16 пра­вая круг­лая скоб­ка dx= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в сте­пе­ни 4 минус 6x в квад­ра­те плюс 16x пра­вая круг­лая скоб­ка |_ минус 4 в квад­ра­те =
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 16 минус 6 умно­жить на 4 плюс 16 умно­жить на 2 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 256 минус 6 умно­жить на 16 плюс 16 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =4 минус 24 плюс 32 минус 64 плюс 96 плюс 64=108.

 

Ответ: 108.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4477

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1996 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 7 из 10