Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4370
i

Со­ставь­те урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции y=x в кубе в точке с абс­цис­сой x_0=1. Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты всех точек гра­фи­ка этой функ­ции, ка­са­тель­ные в ко­то­рых па­рал­лель­ны най­ден­ной ка­са­тель­ной.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Возьмём про­из­вод­ную от функ­ции y'= левая круг­лая скоб­ка x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка '=3x в квад­ра­те . Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции f(x) в точке x0 имеет вид y=f' левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка . В нашем слу­чае:

y= левая круг­лая скоб­ка 3 умно­жить на 1 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 в кубе рав­но­силь­но y=3x минус 3 плюс 1 рав­но­силь­но y=3x минус 2.

Уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты па­рал­лель­ных пря­мых равны. Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции равен про­из­вод­ной этой функ­ции в точке ка­са­ния, по­это­му спра­вед­ли­во урав­не­ние:

3x в квад­ра­те =3 рав­но­силь­но x в квад­ра­те =1 рав­но­силь­но x=\pm 1.

Па­рал­лель­ных ка­са­тель­ных две, как и кор­ней у по­лу­чен­но­го урав­не­ния. Ка­са­тель­ная, па­рал­лель­ная дан­ной, пе­ре­се­ка­ет гра­фик функ­ции в точке с абс­цис­сой −1, тогда её абс­цис­са равна левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе = минус 1.

 

Ответ: (−1; −1).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4380

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, экз. сбор­ник под ре­дак­ци­ей Г. В. До­ро­фе­е­ва, 2006 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 4 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025