Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4158

Найдите все решения уравнения 2 синус в квадрате x минус косинус 4x=1, удовлетворяющих условию |x| меньше 1.

Спрятать решение

Решение.

Подставив в данное уравнение выражения 2 синус в квадрате x=1 минус косинус 2x,  косинус 4x=2 косинус в квадрате 2x минус 1, после несложных преобразований получим 2 косинус в квадрате 2x плюс косинус 2x минус 1=0. Решим квадратное относительно  косинус 2x уравнение

2 косинус в квадрате 2x плюс косинус 2x минус 1=0 равносильно совокупность выражений косинус 2x= минус 1, косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, конец совокупности . k,n принадлежит Z .

Выберем корни уравнения, удовлетворяющие условию |x| меньше 1.

При n больше или равно 0  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n больше 1, а при n меньше 0  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n меньше минус 1 и, следовательно, ни один из корней уравнения вида x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, где n принадлежит Z не принадлежит интервалу ( минус 1; 1). Далее, рассмотрим решения вида x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, где k принадлежит Z . При k=0 x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби принадлежит ( минус 1; 1). Так как при k больше 1  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k больше 1, а при k меньше минус 1  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k меньше минус 1, то из серии x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, где k принадлежит Z , только один корень  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби (при k=0) удовлетворяет условию |x| меньше 1.

 

Ответ: \left\ минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4152

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2003 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 6 из 10