№ 4133 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 25. Разные задачи
i
Докажите, что функция 
принимает только положительные значения.
Решение. Представим заданную функцию в виде суммы полных квадратов:
Первое слагаемое обращается в нуль при 
а второе при 
Следовательно, слагаемые не обращаются в нуль одновременно. Поэтому функция принимает только положительные значения.
Ответ: доказано.
Приведём другое решение.
Представим данную функцию в виде 
где 
и 
Функция h(x), всюду положительна, так как дискриминант трехчлена 
отрицателен. Функция g(x), обращаясь в нуль в точках 
и 0, неотрицательна при 
и не положительна при 
Таким образом, функция 
принимает положительные значения, если 
Исследуем значения функций g(x) и h(x) на интервале 
Производная
обращается в нуль при 
и 
Так как 
т. е. 
получим 
тогда на интервале 
функция 
Производная
на интервале отрицательна, т. к. 
при 
Значит, функция h(x) на убывает и принимает свое наименьшее значение в правом конце этого промежутка: 
т. е. 
Таким образом, и на интервале функция
Окончательно получаем, что при всех значениях х функция f(х) принимает только положительные значения.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: доказано.
Задание парного варианта: 4127
