Пред­ста­вим за­дан­ную функ­цию в виде суммы пол­ных квад­ра­тов:

Пер­вое сла­га­е­мое об­ра­ща­ет­ся в нуль при а вто­рое при Сле­до­ва­тель­но, сла­га­е­мые не об­ра­ща­ют­ся в нуль од­но­вре­мен­но. По­это­му функ­ция при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния.

Ответ: до­ка­за­но.

При­ме­ча­ние.

Если не за­ме­тить «хо­ро­шее» пред­став­ле­ние функ­ции в виде суммы пол­ных квад­ра­тов, ре­ше­ние может ока­зать­ся за­мет­но более слож­ным, но, тем не менее, по­учи­тель­ным. Рас­смот­рим, на­при­мер, такое пред­став­ле­ние: пусть где а Так как дис­кри­ми­нант трех­чле­на от­ри­ца­те­лен: то при всех зна­че­ни­ях x. Ис­сле­ду­ем при­ни­ма­е­мые зна­че­ния функ­ци­ей

Она об­ра­ща­ет­ся в нуль в точ­ках 0 и Ме­то­дом ин­тер­ва­лов опре­де­ля­ем, что если и если Таким об­ра­зом, при всех Срав­ним наи­мень­шие зна­че­ния функ­ций и на ин­тер­ва­ле Про­из­вод­ная

об­ра­ща­ет­ся в нуль при и Так как тогда по­лу­чим то наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции g(x) на равно −4, т. е. при всех Про­из­вод­ная

при по­ло­жи­тель­на. Зна­чит, на ин­тер­ва­ле функ­ция воз­рас­та­ет и свое наи­мень­шее зна­че­ние при­ни­ма­ет в левом конце ин­тер­ва­ла: т. е. при всех Из этого сле­ду­ет, что на ин­тер­вал

Таким об­ра­зом, окон­ча­тель­но по­лу­чи­ли, что функ­ция f(х) при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния на всем мно­же­стве дей­стви­тель­ных чисел.