Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4120

Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=4 в степени (x) минус 2 в степени (x плюс 1) в точке минимума.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем выражение, задающее функцию, следующим образом: f(x)=2 в степени (2x) минус 2 умножить на 2 в квадрате . Функция непрерывна и дифференцируема на всем множестве действительных чисел. Найдем ее производную:

f'(x)=2 умножить на 2 в степени (2x) умножить на \ln 2 минус 2 умножить на 2 в степени (2x) умножить на \ln 2= 2\ln2 умножить на (2 в степени (2x) минус 2 в степени (x) ).

Производная обращается в нуль, если 2 в степени (2x) минус 2 в степени (x) =0, т. е. 2x=x и x=0. Так как

f'( минус 1)=2\ln2 умножить на (2 в степени ( минус 2) минус 2 в степени ( минус 1) )=2\ln 2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 2\ln меньше 0

и f'(1)=2\ln 2 умножить на (2 в квадрате минус 2)=2 умножить на 2\ln 2 больше 0, то x=0 точка минимума. Касательная к графику функции в точке минимума горизонтальна, и ее уравнение имеет вид y=a, где a — значение функции в точке минимума. В нашем случае a=f(0)=1 минус 2= минус 1. Таким образом, y= минус 1 — уравнение касательной к графику данной функции в точке минимума.

 

Ответ: уравнение касательной y= минус 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4114

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2002 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Касательная к графику функции
?
Сложность: 5 из 10