РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4114

Напишите уравнение касательной к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 27 в степени x$ в точке максимума.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем выражение, задающее функцию, следующим образом: $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка .$ Функция непрерывна и дифференцируема на всем множестве действительных чисел. Найдем ее производную:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка умножить на натуральный логарифм 3 минус 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка умножить на натуральный логарифм 3= 3\ln3 умножить на левая круглая скобка 3 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Найдем теперь точки экстремумов, для чего решим уравнение $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0,$ получим

$3 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка =0 равносильно x=3x равносильно x=0.$

Определим знак производной слева и справа от точки экстремума, для этого в силу непрерывности производной достаточно определить ее знак, например, в точках −1 и 1. Тогда

$f' левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =3 натуральный логарифм 3 умножить на левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка =3 натуральный логарифм 3 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 3 натуральный логарифм 3 умножить на 8, знаменатель: 27 конец дроби больше 0$

и $f' левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =3 натуральный логарифм 3 умножить на левая круглая скобка 3 минус 3 в кубе правая круглая скобка =3 натуральный логарифм 3 умножить на левая круглая скобка минус 24 правая круглая скобка меньше 0.$ Таким образом, производная в точке $x=0$ меняет знак с плюса на минус. Значит, $x=0$ точка максимума. Касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс и задается уравнением $y=a,$ где a  — значение функции в точке экстремума. В нашем случае $a=f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =3 минус 1=2.$ Уравнение касательной к графику функции в точке максимума имеет вид $y=2.$

Ответ: уравнение касательной $y=2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4120

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2002 год, работа 2, вариант 1

? Классификатор: Касательная к графику функции

Сложность: 5 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь