№ 4095 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 19. Приложение производной к задачам оптимизации
i
В правильной треугольной призме сумма длин всех 9 ребер равна 120 см. Найдите объем призмы при условии, что площадь ее боковой поверхности является наибольшей.
Решение. Основание правильной треугольной призмы — равносторонний треугольник. Пусть длина этого треугольника — x см y см — длина высоты призмы, причем числа x и y положительны. Тогда 
см — сумма длин всех ребер, которая по условию равна 120 см. Следовательно, 
Объем призмы равен произведению площади основания на ее высоту. Площадь равностороннего треугольника со стороной х находится с помощью формулы 
поэтому объем призмы равен 
Запишем формулу для нахождения площади боковой поверхности призмы S: как боковые грани являются равными прямоугольниками со сторонами x и y, то 
Мы знаем, что 
или 
Подставив это выражение в формулу площади боковой поверхности, получим функцию 
Ее производная 
Приравняв производную нулю, найдем критические точки функции:
На промежутке 
это единственная критическая точка (см. рис.). Она является точкой максимума, в ней функция 
принимает свое наибольшее значение. Зная x, найдем соответствующее значение y: тогда
и вычислим объем призмы
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 4089
