Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4073

Определите, при каких значениях параметра a уравнение 2x в кубе плюс 3x в квадрате минус 36x минус a плюс 2=0 имеет ровно два корня.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим функцию f(x)=2x в кубе плюс 3x в квадрате минус 36x минус a плюс 2. Уравнение третьей степени имеет ровно два корня, если данная функция обращается в ноль в двух различных точках. Это возможно только тогда, когда один из экстремумов (минимум или максимум) функции f(x) равен нулю. Найдем, при каких значениях a достигается это равенство. Функция f(x) определена и дифференцируема на всем множестве действительных чисел. Найдем ее производную: f'(x)=6x в квадрате плюс 6x минус 36. Решим уравнение f'(x)=0, получим

6x в квадрате плюс 6x минус 36=0 равносильно x в квадрате плюс x минус 6=0 равносильно совокупность выражений x=2,x= минус 3. конец совокупности .

Числа 2 и −3 являются точками экстремумов. Найдем при каких значениях a экстремумы равны нулю. Рассмотрим тогда два случая f(2)=0 и f( минус 3)=0. Первый: при f(2)=16 плюс 12 минус 72 минус a плюс 2 имеем 16 плюс 12 минус 72 минус a плюс 2=0 тогда a= минус 42. Второй: при f( минус 3)= минус 54 плюс 27 плюс 108 минус a плюс 2 имеем  минус 54 плюс 27 плюс 108 минус a плюс 2=0 тогда a=83.

 

Ответ: при a= минус 42 и при a=83.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4067

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2001 год, работа 7, вариант 2
? Классификатор: Уравнения с параметром
?
Сложность: 6 из 10