Определите, при каких значениях параметра a уравнение имеет ровно два корня.
Рассмотрим функцию Уравнение третьей степени имеет ровно два корня, если данная функция обращается в ноль в двух различных точках. Это возможно только тогда, когда один из экстремумов (минимум или максимум) функции f(x) равен нулю. Найдем, при каких значениях a достигается это равенство. Функция f(x) определена и дифференцируема на всем множестве действительных чисел. Найдем ее производную:
Решим уравнение
получим
Числа 2 и −3 являются точками экстремумов. Найдем при каких значениях a экстремумы равны нулю. Рассмотрим тогда два случая и
Первый: при
имеем
тогда
Второй: при
имеем
тогда
Ответ: при и при
Задание парного варианта: 4067

