Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4069

Найдите множество первообразных функции f(x)=2x плюс 5 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x плюс 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: (2x плюс 5) в квадрате конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Областью определения данной функции является объединение двух числовых лучей, так как выражение, стоящее в знаменателе, не должно обращаться в ноль: x не равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , тогда

D(f)= левая круглая скобка минус принадлежит fty ; минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

Рассмотрим на каждом из этих промежутков первообразную отдельно. Применяя правила вычисления первообразных, найдем общий вид первообразных указанной функции на промежутке  левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка . Тогда

F(x)=x в квадрате плюс 5x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \ln(2x плюс 5) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2(2x плюс 5) конец дроби плюс C,

где C  — константа. Найдем множество первообразных функции f(x) на промежутке  левая круглая скобка минус принадлежит fty ; минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка . Получим

F(x)=x в квадрате плюс 5x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \ln( минус 2x минус 5) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2(2x плюс 5) конец дроби плюс C.

Итак, приходим к выводу, что на всей области определения общий вид первообразных будет таким:

F(x)=x в квадрате плюс 5x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \ln|2x плюс 5| минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2(2x плюс 5) конец дроби плюс C,

где C  — константа.

 

Ответ: F(x)=x в квадрате плюс 5x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \ln|2x плюс 5| минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2(2x плюс 5) конец дроби плюс C, где C  — константа.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4063

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2001 год, работа 7, вариант 2
? Классификатор: Нахождение первообразных
?
Сложность: 2 из 10