РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4031

Решите уравнение $2 в степени левая круглая скобка косинус левая круглая скобка Пи x плюс Пи правая круглая скобка правая круглая скобка =x в квадрате минус 6x плюс 11.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение к виду

$2 в степени левая круглая скобка косинус левая круглая скобка Пи x плюс Пи правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 2,$

выделив полный квадрат. Заметим, что для любого значения x выражение $левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 2 больше 2,$ причем равенство достигается только при $x=3.$ Рассмотрим выражение $2 в степени левая круглая скобка косинус левая круглая скобка Пи x плюс Пи правая круглая скобка правая круглая скобка .$ Так как $минус 1 меньше или равно косинус левая круглая скобка Пи x плюс Пи правая круглая скобка меньше или равно 1,$ и функция $2 в степени t$ возрастает на всей области определения, то

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка косинус левая круглая скобка Пи x плюс Пи правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 2.$

Следовательно, данное уравнение имеет корни только лишь в том случае, когда $2 в степени левая круглая скобка косинус левая круглая скобка Пи x плюс Пи правая круглая скобка правая круглая скобка =2,$ и $левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 2=2$ одновременно. Проверим, является ли $x=3$ корнем уравнения $2 в степени левая круглая скобка косинус левая круглая скобка Пи x плюс Пи правая круглая скобка правая круглая скобка =2.$ Очевидно, что $2 в степени левая круглая скобка косинус левая круглая скобка Пи x плюс Пи правая круглая скобка правая круглая скобка =2$   — верное равенство, т. е. $x=3$   — корень исходного уравнения.

Ответ: $левая фигурная скобка 3 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4037

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2001 год, работа 4, вариант 1

? Классификатор: Показательные уравнения и их системы, Тригонометрические уравнения , Уравнения и неравенства смешанного типа

Сложность: 6 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь