Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4031

Решите уравнение 2 в степени ( \textstyle косинус ( Пи x плюс Пи )) =x в квадрате минус 6x плюс 11.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение к виду

2 в степени ( \textstyle косинус ( Пи x плюс Пи )) =(x минус 3) в квадрате плюс 2,

выделив полный квадрат. Заметим, что для любого значения x выражение (x минус 3) в квадрате плюс 2 больше 2, причем равенство достигается только при x=3. Рассмотрим выражение 2 в степени ( \textstyle косинус ( Пи x плюс Пи )) . Так как  минус 1 меньше или равно косинус ( Пи x плюс Пи ) меньше или равно 1, и функция 2 в степени t возрастает на всей области определения, то

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 2 в степени ( косинус ( Пи x плюс Пи )) меньше или равно 2.

Следовательно, данное уравнение имеет корни только лишь в том случае, когда  2 в степени ( косинус ( Пи x плюс Пи )) =2, и (x минус 3) в квадрате плюс 2=2 одновременно. Проверим, является ли x=3 корнем уравнения 2 в степени ( косинус ( Пи x плюс Пи )) =2. Очевидно, что 2 в степени ( косинус ( Пи x плюс Пи )) =2 — верное равенство, т. е. x=3 — корень исходного уравнения.

 

Ответ: \left \3 \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4037

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2001 год, работа 4, вариант 1
? Классификатор: Показательные уравнения и их системы, Тригонометрические уравнения , Уравнения и неравенства смешанного типа
?
Сложность: 6 из 10