Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4030

Решите неравенство  корень из (8 минус 2) в степени (x) умножить на \log _2 дробь: числитель: 4 минус x, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку арифметический квадратный корень неотрицателен, то первый множитель может принимать только значения, равные нулю или большие нуля. Пусть  корень из (8 минус 2 в степени x ) =0. Данное равенство выполняется только при x=3. Выражение  логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 4 минус x, знаменатель: x плюс 2 конец дроби сохраняет смысл при этом значении x, так как  дробь: числитель: 4 минус x, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше или равно 0. Теперь рассмотрим неравенство

 корень из (8 минус 2) в степени (x) умножить на \log _2 дробь: числитель: 4 минус x, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше или равно 0

при 8 минус 2 в степени (x) больше 0. Для того чтобы произведение двух множителей, один из которых больше нуля, было большим либо равным нулю, другой множитель должен быть неотрицательным. Имеем два неравенства: 8 минус 2 в степени (x) больше 0 и \log _2 дробь: числитель: 4 минус x, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше или равно 0. Решим первое неравенство:

8 минус 2 в степени (x) больше 0 равносильно 2 в степени x меньше 8 равносильно 2 в степени x меньше 2 в кубе .

Поскольку функция y=2 в степени x  — возрастающая, то x меньше 3. Теперь найдем решения второго неравенства

\log _2 дробь: числитель: 4 минус x, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше или равно логарифм по основанию 2 1.

Так как функция y= логарифм по основанию 2 t возрастает на всей области определения, то

 дробь: числитель: 4 минус x, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше или равно 1 равносильно дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 2 конец дроби меньше или равно 0.

Решением полученного неравенства является числовой промежуток ( минус 2; 1]. Этот промежуток удовлетворяет и неравенству x меньше 3. Множество ( минус 2; 1] \cup \3\ является решением исходного неравенства.

 

Ответ: ( минус 2; 1] \cup \3\.

 

Комментарии.

1) Мы не стали искать множество решений неравенства  дробь: числитель: 4 минус x, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше 0, так как очевидно, что выполняется цепочка неравенств  дробь: числитель: 4 минус x, знаменатель: x плюс 2 конец дроби больше или равно 1 больше 0.

2) Последовательность приведенных выше рассуждений может быть записана в виде совокупности двух систем. Однако при этом запись решения будет весьма громоздкой. Требовать такую запись от ученика общеобразовательного класса мы считаем нецелесообразным.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4036

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2001 год, работа 4, вариант 1
? Классификатор: Иррациональные неравенства, Логарифмические неравенства, Показательные неравенства, Уравнения и неравенства смешанного типа
?
Сложность: 5 из 10