Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4029

Решите уравнение 4 косинус в степени (4) x минус 19 косинус в квадрате x плюс 12=0.

Спрятать решение

Решение.

Введем замену  косинус в квадрате x=t, где 0 меньше или равно t меньше или равно 1, получим уравнение 4t в квадрате минус 19t плюс 12=0. Корень t_1= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби удовлетворяет ограничению 0 меньше или равно t меньше или равно 1, а t_2=4 нет. Вернемся к исходной переменной. Уравнение  косинус x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби имеет корни x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, n принадлежит Z . Уравнение  косинус x= минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби имеет корни x= \pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

 

Ответ: \left \\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n; \pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : n, k принадлежит Z \.

 

 

Комментарий. Покажем на единичной окружности значения, указанные в ответе (см. рис.). Очевидно, что их можно записать в виде \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4035

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2001 год, работа 4, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 4 из 10