Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3963

Найдите первообразную функции f(x)= дробь: числитель: 2x в квадрате плюс 5, знаменатель: x конец дроби , график которой проходит через точку A( минус 1; минус 2).

Спрятать решение

Решение.

Так как областью определения данной функции является все множество действительных чисел, кроме нуля, то будем искать первообразную на промежутке ( минус принадлежит fty ; 0). Представим дробь в виде алгебраической суммы двух дробей и, упростив их, получим f(x)=2{x плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: x конец дроби . На указанном множестве первообразную  дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби запишем как \ln( минус x). Таким образом, множество всех первообразных исходной функции задастся как

F(x)=x в квадрате плюс 5\ln( минус x) плюс C,

где С — константа. Через каждую точку плоскости проходит график только одной первообразной. Поэтому найдем значение константы, подставив в формулу координаты точки A:

 минус 2=( минус 1) в квадрате плюс 5\ln 1 плюс C равносильно минус 2=1 плюс C равносильно C= минус 3.

Значит, уравнение первообразной функции f(x)= дробь: числитель: 2x в квадрате плюс 5, знаменатель: x конец дроби , график которой проходит через точку A ( минус 1; минус 2), имеет вид:

F(x)=x в квадрате плюс 5\ln( минус x) минус 3.

Ответ: F(x)=x в квадрате плюс 5\ln( минус x) минус 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3957

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2000 год, работа 3, вариант 2
? Классификатор: Нахождение первообразных
?
Сложность: 4 из 10