Так как де­ле­ние на нуль не опре­де­ле­но, то в об­ласть опре­де­ле­ния за­дан­ной функ­ции вхо­дят все дей­стви­тель­ные числа, кроме нуля. По­это­му будем ис­кать пер­во­об­раз­ную на про­ме­жут­ке X, не со­дер­жа­щем Так как абс­цис­са за­дан­ной точки от­ри­ца­тель­на, то рас­смот­рим, на­при­мер, чис­ло­вой про­ме­жу­ток Пред­ста­вим дробь в виде ал­геб­ра­и­че­ской суммы двух дро­бей и, упро­стив их, по­лу­чим

Най­дем пер­во­об­раз­ную для функ­ции На мно­же­стве от­ри­ца­тель­ных чисел пер­во­об­раз­ную для функ­ции за­пи­шем как Сле­до­ва­тель­но, для функ­ции имеем пер­во­об­раз­ную Таким об­ра­зом, мно­же­ство всех пер­во­об­раз­ных ис­ход­ной функ­ции за­даст­ся как

Через каж­дую точку плос­ко­сти про­хо­дит гра­фик толь­ко одной пер­во­об­раз­ной. По­это­му най­дем зна­че­ние кон­стан­ты, под­ста­вив в фор­му­лу ко­ор­ди­на­ты точки А:

Зна­чит, урав­не­ние пер­во­об­раз­ной функ­ции гра­фик ко­то­рой про­хо­дит через точку имеет вид:

Ответ:

Ком­мен­та­рий. По­лез­но в об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных клас­сах де­лать про­вер­ку. А имен­но до­ка­зать, что функ­ция яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной для

До­ка­за­тель­ство все­гда на­чи­на­ет­ся с по­ис­ка об­ла­сти опре­де­ле­ния. Так и Об­ла­сти опре­де­ле­ния этих функ­ций сов­па­да­ют на про­ме­жут­ке По опре­де­ле­нию пер­во­об­раз­ной долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство Про­диф­фе­рен­ци­ру­ем на про­ме­жут­ке X:

Срав­ни­вая с при­хо­дим к вы­во­ду, что на про­ме­жут­ке X функ­ция F(x) яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной функ­ции f(x).