Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3957

Найдите первообразную функции f(x)= дробь: числитель: 4x в квадрате минус 3, знаменатель: x конец дроби , график которой проходит через точку A( минус 1;5).

Спрятать решение

Решение.

Так как деление на нуль не определено, то в область определения заданной функции входят все действительные числа, кроме нуля. Поэтому будем искать первообразную на промежутке X, не содержащем x=0. Так как абсцисса заданной точки отрицательна, то рассмотрим, например, числовой промежуток X=( минус принадлежит fty ; 0). Представим дробь в виде алгебраической суммы двух дробей и, упростив их, получим

f(x)=4x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби .

Найдем первообразную F(x) для функции f(x). На множестве отрицательных чисел первообразную для функции  дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби запишем как \ln( минус x). Следовательно, для функции  минус 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби имеем первообразную  минус 3\ln( минус x). Таким образом, множество всех первообразных исходной функции задастся как

F(x)=2x в квадрате минус 3\ln( минус x) плюс C.

Через каждую точку плоскости проходит график только одной первообразной. Поэтому найдем значение константы, подставив в формулу координаты точки А:

5=2 минус 3\ln1 плюс C равносильно 5=2 плюс C равносильно C=3.

Значит, уравнение первообразной функции f(x)= дробь: числитель: 4x в квадрате минус 3, знаменатель: x конец дроби , график которой проходит через точку A ( минус 1; 5), имеет вид:

F(x)=2x в квадрате минус 3\ln( минус x) плюс 3.

Ответ: F(x)=2x в квадрате минус 3\ln( минус x) плюс 3.

 

 

Комментарий. Полезно в общеобразовательных классах делать проверку. А именно доказать, что функция F(x)=2x в квадрате минус 3\ln( минус x) плюс 3 является первообразной для

f(x)= дробь: числитель: 4x в квадрате минус 3, знаменатель: x конец дроби .

Доказательство всегда начинается с поиска области определения. Так D(F(x))=( минус принадлежит fty ; 0) и D(f)=( минус принадлежит fty ; 0) \cup (0; плюс принадлежит fty ). Области определения этих функций совпадают на промежутке X=( минус принадлежит fty ; 0). По определению первообразной должно выполняться равенство F'(x)=f(x). Продифференцируем F(x) на промежутке X:

F'(x)=4x минус 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: минус x конец дроби ( минус x)' равносильно F'(x)=4x минус 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби .

Сравнивая F'(x)= дробь: числитель: 4x в квадрате минус 3, знаменатель: x конец дроби с f(x)= дробь: числитель: 4x в квадрате минус 3, знаменатель: x конец дроби , приходим к выводу, что на промежутке X функция F(x) является первообразной функции f(x).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3963

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2000 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Нахождение первообразных
?
Сложность: 4 из 10