РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3937

Решите уравнение $косинус в квадрате x минус синус в квадрате x= левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка в квадрате .$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение

$косинус в квадрате }x минус синус в квадрате x= косинус в квадрате x плюс 2 косинус x умножить на синус x плюс синус в квадрате x равносильно минус синус в квадрате x=2 косинус x умножить на синус x плюс синус в квадрате x равносильно 2 синус в квадрате x плюс 2 косинус x умножить на синус x=0.$

Разложим на множители выражение, стоящее в левой части равенства: $синус x умножить на левая круглая скобка косинус x плюс синус x правая круглая скобка =0.$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Функции косинус и синус имеют смысл при любом значении x₁, значит, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$система выражений синус x=0, косинус x плюс синус x=0. конец системы .$

Решением уравнения $синус x=0$ является множество чисел $левая фигурная скобка Пи n, n принадлежит Z правая фигурная скобка .$ Уравнение $косинус x плюс синус x=0$ является однородным уравнением первой степени. Так как случай, когда $синус x=0,$ мы рассмотрели выше, то при делении на $синус x$ потери корней не произойдет. Следовательно, учитывая, что по определению $\ctg x= дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби ,$ имеем $\ctg x плюс 1=0.$ Откуда

$\ctg x= минус 1 равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка Пи n; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k : n, k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3931

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2000 год, работа 1, вариант 2

? Классификатор: Тригонометрические уравнения

Сложность: 2 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь