РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3860

Решите систему уравнений $система выражений \log _2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка минус \log _2y=1, 3x минус y=2. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Выразим из второго уравнении y через x и решим логарифмическое уравнение:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 2 правая круглая скобка =1 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x минус 4 правая круглая скобка равносильно x в квадрате плюс 3x минус 2=6x минус 4 равносильно x в квадрате минус 3x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений x=1,x=2. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 2 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 2 правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x минус 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 3x минус 2=6x минус 4 равносильно x в квадрате минус 3x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений x=1,x=2. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 2 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x минус 4 правая круглая скобка равносильно x в квадрате плюс 3x минус 2=6x минус 4 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 3x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений x=1,x=2. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 2 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x минус 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 3x минус 2=6x минус 4 равносильно x в квадрате минус 3x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений x=1,x=2. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 2 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3x минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x минус 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 3x минус 2=6x минус 4 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 3x плюс 2=0 равносильно совокупность выражений x=1,x=2. конец совокупности .$

Проверим оба корня на принадлежность области допустимых значений уравнения: первый $1 плюс 3 минус 2 больше 0 ,$ т. е. $1 больше 0;$ второй $4 плюс 6 минус 2 больше 0 ,$ т. е. $4 больше 0.$ Таким образом, $x_1=1,$ $y_1=1$ и $x_2=2,$ $y_2=4$   — решение системы.

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка ; левая круглая скобка 2; 4 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3866

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1998 год, работа 5, вариант 1

? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы, Рациональные уравнения и их системы, Смешанные системы

Сложность: 3 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь