Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3847
i

Ре­ши­те урав­не­ние 14 синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус 4x минус 10=0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу двумя спо­со­ба­ми.

Ⅰ спо­соб. Ис­поль­зуя фор­му­лу двой­но­го ар­гу­мен­та, ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство, по­лу­чим

14 синус в квад­ра­те x плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те 2x минус 11=0 рав­но­силь­но 14 синус в квад­ра­те x плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 11=0 рав­но­силь­но 8 синус в сте­пе­ни 4 x плюс 6 синус в квад­ра­те x минус 9=0.

Это урав­не­ние яв­ля­ет­ся би­квад­рат­ным от­но­си­тель­но  синус x. Обо­зна­чим  синус в квад­ра­те x=t, где 0 мень­ше или равно t мень­ше или равно 1. Тогда по­лу­ча­ем

8t в квад­ра­те плюс 6t минус 9=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t_1= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,t_2= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что вто­рой ко­рень не под­хо­дит, так как  минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \notin левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной. Решим

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n,x= левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . n, k при­над­ле­жит Z .

Эти два мно­же­ства можно объ­еди­нить: x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z .

 

Ⅱ спо­соб. При­ме­ним фор­му­лы двой­но­го и по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та:

7 левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те 2x минус 1 минус 10=0 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус в квад­ра­те 2x минус 7 ко­си­нус 2x минус 4=0.

Обо­зна­чив  ко­си­нус 2x=t, при  минус 1 мень­ше или равно t мень­ше или равно 1, по­лу­чим квад­рат­ное урав­не­ние 2t в квад­ра­те минус 7t минус 4=0 с кор­ня­ми t_1= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и t_2=4. Вто­рой ко­рень не под­хо­дит, так как 4 \notin левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но,  ко­си­нус 2x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , т. е. x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n : n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3853

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1998 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 2 из 10