Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3665
i

Сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние 3x в квад­ра­те умно­жить на e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим урав­не­ние 3x в квад­ра­те умно­жить на e в сте­пе­ни x минус 1=0 и функ­цию f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3x в квад­ра­те умно­жить на e в сте­пе­ни x минус 1, опре­де­лен­ную и диф­фе­рен­ци­ру­е­мую на ℝ. Так

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 левая круг­лая скоб­ка 2x умно­жить на e в сте­пе­ни x плюс x в квад­ра­те e в сте­пе­ни x пра­вая круг­лая скоб­ка =3xe в сте­пе­ни x левая круг­лая скоб­ка 2 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Изу­чим знаки про­из­вод­ной и мо­но­тон­ность функ­ции f(x) на ℝ (см. рис.). По­лу­чим f левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: e в квад­ра­те конец дроби минус 1 боль­ше 0 и f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1 мень­ше 0. На левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка функ­ция f(x) воз­рас­та­ет, при­чем f левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 48, зна­ме­на­тель: e в сте­пе­ни 4 конец дроби минус 1 мень­ше 0, а f левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, сле­до­ва­тель­но, есть ровно один ко­рень урав­не­ния, на­хо­дя­щий­ся на левая круг­лая скоб­ка минус 4; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ; на левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2 ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка функ­ции f(x) убы­ва­ет, при­чем f левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, а f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, т. е. ис­ход­ное урав­не­ние имеет еще один ко­рень; на левая квад­рат­ная скоб­ка 0 ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка функ­ции f(x) воз­рас­та­ет, при­чем f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, а f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, сле­до­ва­тель­но, есть еще один ко­рень на левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: три ре­ше­ния.

 

Ана­лиз ра­бо­ты № 10.

За­да­ние № 1 - урав­не­ние, рас­смат­ри­ва­е­мое в учеб­ни­ке.

За­да­ние № 2 со­от­вет­ству­ет тре­бо­ва­ни­ям обя­за­тель­но­го уров­ня.

За­да­ние № 3 со­от­вет­ству­ет про­грамм­ным тре­бо­ва­ни­ям на ми­ни­маль­ном уров­не. На­при­мер, в стан­дар­тах тре­бу­ет­ся

найти про­из­вод­ную функ­ции y=x умно­жить на e в сте­пе­ни x .

За­да­ние № 4. Труд­ность этого при­ме­ра за­клю­ча­ет­ся в том, что функ­ция y= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x минус 4 конец дроби на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 1; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния, в осталь­ном тех­ни­ка ре­ше­ния не вы­хо­дит за рамки обя­за­тель­но­го уров­ня стан­дар­тов.

За­да­ние № 5. При­мер с па­ра­мет­ром со­от­вет­ству­ет «про­грамм­но­му» уров­ню стан­дар­тов, тех­ни­че­ски не­сло­жен и может вы­звать разве что за­труд­не­ния чисто пси­хо­ло­ги­че­ско­го ха­рак­те­ра, т. е. за­труд­нить уче­ни­ка толь­ко своей про­сто­той.

За­да­ние № 6 -, есте­ствен­но, самый труд­ный при­мер, тре­бу­ю­щий уме­ния ра­бо­тать с мо­но­тон­ны­ми функ­ци­я­ми и стро­ить не­слож­ные гра­фи­ки типа y=x умно­жить на на­ту­раль­ный ло­га­рифм x или y=x в квад­ра­те умно­жить на e в сте­пе­ни x , при­чем не­обя­за­тель­но стро­ить их на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния. До­ста­точ­но, на­при­мер, по­стро­ить гра­фик функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3x в квад­ра­те умно­жить на e в сте­пе­ни x минус 1 на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , так как за его пре­де­ла­ми функ­ция со­хра­ня­ет знак, а сле­до­ва­тель­но, кор­ней иметь не может. При ре­ше­нии этого при­ме­ра можно не ис­поль­зо­вать пре­де­лы.

Ва­ри­ан­ты до­ста­точ­но рав­но­цен­ны и не­слож­ны. Об­ра­ща­ет на себя вни­ма­ние вза­и­мо­связь за­да­ний № 3 и № 6 (пе­ре­крест­но по ва­ри­ан­там). Ра­бо­та про­ве­ря­ет уме­ние уче­ни­ка ре­шать при­ме­ры и за­да­чи прак­ти­че­ски по всем прой­ден­ным в стар­ших клас­сах раз­де­лам школь­но­го курса ма­те­ма­ти­ки.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3659

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 10, ва­ри­ант 2
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 6 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025