PDF-версии: 
Сколько решений имеет уравнение 
Решение. Рассмотрим уравнение 
и функцию 
определенную и дифференцируемую на ℝ. Так
Изучим знаки производной и монотонность функции f(x) на ℝ (см. рис.). Получим
и 
На 
функция f(x) возрастает, причем 
а 
следовательно, есть ровно один корень уравнения, находящийся на 
на 
функции f(x) убывает, причем а 
т. е. исходное уравнение имеет еще один корень; на 
функции f(x) возрастает, причем 
а следовательно, есть еще один корень на 
Ответ: три решения.
Анализ работы № 10.
Задание № 1 - уравнение, рассматриваемое в учебнике.
Задание № 2 соответствует требованиям обязательного уровня.
Задание № 3 соответствует программным требованиям на минимальном уровне. Например, в стандартах требуется
найти производную функции 
Задание № 4. Трудность этого примера заключается в том, что функция 
на отрезке 
принимает отрицательные значения, в остальном техника решения не выходит за рамки обязательного уровня стандартов.
Задание № 5. Пример с параметром соответствует «программному» уровню стандартов, технически несложен и может вызвать разве что затруднения чисто психологического характера, т. е. затруднить ученика только своей простотой.
Задание № 6 -, естественно, самый трудный пример, требующий умения работать с монотонными функциями и строить несложные графики типа 
или 
причем необязательно строить их на всей области определения. Достаточно, например, построить график функции 
на промежутке 
так как за его пределами функция сохраняет знак, а следовательно, корней иметь не может. При решении этого примера можно не использовать пределы.
Варианты достаточно равноценны и несложны. Обращает на себя внимание взаимосвязь заданий № 3 и № 6 (перекрестно по вариантам). Работа проверяет умение ученика решать примеры и задачи практически по всем пройденным в старших классах разделам школьного курса математики.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |