Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3644
i

Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния, нули, про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти и экс­тре­му­мы функ­ции y=x в кубе минус 3x. По­строй­те гра­фик функ­ции.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на ℝ. По­лу­чим

y'=3x в квад­ра­те минус 3 рав­но­силь­но y'=3 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Если x мень­ше минус 1, то y' боль­ше 0, если минус 1 мень­ше x мень­ше минус 1, то y' мень­ше 0, если x боль­ше 1, то y' боль­ше 0. Так как функ­ция не­пре­рыв­на на ℝ, то левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и левая квад­рат­ная скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка   — про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния, a левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка   — про­ме­жу­ток убы­ва­ния. По­это­му зна­че­ния функ­ции в точ­ках −1 и 1 яв­ля­ют­ся экс­тре­маль­ны­ми: y левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 точка мак­си­му­ма; y левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 точка ми­ни­му­ма. Для по­стро­е­ния гра­фи­ка за­ме­тим, что функ­ция яв­ля­ет­ся не­чет­ной, сим­мет­рия от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат. В дан­ном слу­чае можно легко найти корни x= минус ко­рень из 3 , x=0 и x= ко­рень из 3 .

 

Ответ: об­ласть опре­де­ле­ния: R ; левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и левая квад­рат­ная скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка   — про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния; левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка   — про­ме­жу­ток убы­ва­ния; −2 и 2  — экс­тре­му­мы (см. рис.).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3650

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 9, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, По­стро­е­ние гра­фи­ков функ­ций, гра­фи­ков урав­не­ний
?
Сложность: 3 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025