Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3628

Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции y=5 минус \ln (3x минус 5) плюс 3 корень из (2x минус 3) .

Спрятать решение

Решение.

Найдем область определения функции

 система выражений 3x минус 5 больше 0,2x минус 3 больше или равно 0 конец системы . равносильно x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .

Таким образом, D(y)= левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка . Заметим, что на всей этой области функция у дифференцируема

y'= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 3x минус 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из (2x минус 3) конец дроби равносильно y'= дробь: числитель: 3(3x минус 5 минус корень из (2x минус 3) ), знаменатель: (3x минус 5) корень из (2x минус 3) конец дроби .

Найдем нули числителя при условии x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби . Решим

3x минус 5= корень из (2x минус 3) равносильно 9x в квадрате минус 30x плюс 25=2x минус 3 равносильно 9x в квадрате минус 32x плюс 28=0 равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 16 минус 2, знаменатель: 9 конец дроби ,x= дробь: числитель: 16 плюс 2, знаменатель: 9 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 14, знаменатель: 9 конец дроби ,x=2. конец совокупности .

Таким образом, единственная критическая точка функции x=2. Тогда y'(6) больше 0 и y' левая круглая скобка дробь: числитель: 91, знаменатель: 50 конец дроби правая круглая скобка меньше 0. Следовательно, в точке x=2 производная меняет знак (см. рис.). Имеем y(2)=8 — экстремальное значение (минимум).

 

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ;2 правая квадратная скобка  — промежуток убывания; [2; плюс принадлежит fty ) — промежуток возрастания; y(2)=8 — экстремум (минимум).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3622

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1995 год, работа 7, вариант 2
? Классификатор: Исследование функций
?
Сложность: 5 из 10