№ 3622 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 17. Экстремумы, монотонность, исследование функций
i
Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции 
Решение. Функция определена и дифференцируема на 
Действителено, выражения, входящие в ее запись, определены тогда и только тогда, когда
а при 
функция имеет производную
Найдем корни производной, или убедимся в их отсутствии: 
Полученное иррациональное уравнение решим при 
Решим
где 
и 
Таким образом, 
— единственная критическая точка исходной функции, в которой производная обращается в нуль. Нетрудно вычислить и определить, что 
и 
Следовательно, производная функции в точке меняет знак (см. рис.). Найдем теперь 
Ответ: 
— промежуток убывания; 
— промежуток возрастания; 
— экстремум (минимум).
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: — промежуток убывания;
— промежуток возрастания;
— экстремум (минимум).
Задание парного варианта: 3628
