Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3617

Для каждого значения b решите неравенство  левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка больше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим функцию f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x в квадрате минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка , непрерывную на ℝ. При b=2 то f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , и f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 0 при x больше или равно минус 2. При b= минус 2 то f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , и f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 0 при x больше или равно 2 и x= минус 2. При каждом из остальных значений b функция f(x) имеет три различных корня x= минус 2, x=2 и x=b. В каждом из корней она меняет знак, f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка .

1) Если b меньше минус 2 (см. рис. а), то f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка больше 0, и поэтому f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 0 при b меньше или равно x меньше или равно минус 2 или при x больше или равно 2.

2) Если  минус 2 меньше b меньше 2 (см. рис. б), то f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка больше 0, и поэтому f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 0 при  минус 2 меньше или равно x меньше или равно b или при x больше или равно 2.

3) Если b больше 2 (см. рис. в), то f левая круглая скобка 2b правая круглая скобка больше 0, и поэтому f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 0 при  минус 2 меньше или равно x меньше или равно 2 или при x больше или равно b.

 

а)

б)

в)

 

Ответ: при b меньше минус 2:  левая квадратная скобка b; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка ; при b= минус 2:  левая фигурная скобка минус 2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка ; при  минус 2 меньше b меньше 2:  левая квадратная скобка минус 2; b правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка ; при b=2:  левая круглая скобка минус 2; плюс бесконечность правая круглая скобка ; при b больше 2:  левая квадратная скобка минус 2; 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка b; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3611

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1995 год, работа 6, вариант 2
? Классификатор: Неравенства с параметром
?
Сложность: 6 из 10