№ 3610 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 16. Задачи о касательных
i
Напишите уравнения всех касательных к графику функции 
которые проходят через точку 
Решение. Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Заметим, что 
таким образом, точка А не принадлежит графику функции. Данная функция определена при 
Рассмотрим точку 
лежащую на графике, при 
при 
данная функция не имеет производной. Производная равна
откуда уравнение касательной к графику функции, касающейся его в точке B, есть
Найдем все такие t, при которых касательная проходит через точку 
Решим
По условию поэтому обе части последнего уравнения положительны, и при возведении каждого из них в квадрат мы получим равносильное уравнение
При 
соответствующая касательная
при 
получим
Ответ: 
и 
Ⅱ способ. Рассмотрим обратную к 
функцию, т. е. 
при 
При этом соответственно нужно взять точку 
Уравнение прямой 
проходящей через эту точку, можно записать в виде 
Уравнение касательной можно найти из условия, что уравнение
имеет два равных корня 
на 
Составим
Таким образом, мы имеем две касательные: если 
то 
если 
то 
Для обратных функций получим соответственно и
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: и
Задание парного варианта: 3616
