Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3610

Напишите уравнения всех касательных к графику функции y= корень из (4x минус 3) , которые проходят через точку A(2;3).

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу двумя способами.

Ⅰ  способ. Заметим, что 3 не равно корень из (4 умножить на 2 минус 3) , таким образом, точка А не принадлежит графику функции. Данная функция определена при x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка . Рассмотрим точку B (t; корень из (4t минус 3) ), лежащую на графике, при t больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , при x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби данная функция не имеет производной. Производная равна

y'= дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из (4x минус 3) конец дроби ,

откуда уравнение касательной к графику функции, касающейся его в точке B, есть

y= дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из (4t минус 3) конец дроби (x минус t) плюс корень из (4t минус 3) .

Найдем все такие t, при которых касательная проходит через точку A (2; 3). Решим

3= дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из (4t минус 3) конец дроби (2 минус t) плюс корень из (4t минус 3) равносильно 3 корень из (4t минус 3) =4 минус 2t плюс 4t минус 3 равносильно 3 корень из (4t минус 3) =1 плюс 2t.

По условию t больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , поэтому обе части последнего уравнения положительны, и при возведении каждого из них в квадрат мы получим равносильное уравнение

9(4t минус 3)=1 плюс 4t плюс 4t в квадрате равносильно 4t в квадрате минус 32t плюс 28=0 равносильно совокупность выражений t_1=1,t_2=7. конец совокупности .

При t=1 соответствующая касательная

y= дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из (4 минус 3) конец дроби (x минус 1) плюс корень из (4 минус 3) равносильно y=2x минус 1,

при t=7, получим

y= дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из (28 минус 3) конец дроби (x минус 7) плюс корень из (28 минус 3) равносильно y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби x плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 5 конец дроби .

 

Ответ: y=2x минус 1 и y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби x плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 5 конец дроби .

 

Ⅱ  способ. Рассмотрим обратную к y= корень из (4x минус 3) функцию, т. е. y= дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби при x принадлежит (0; плюс принадлежит fty ). При этом соответственно нужно взять точку A_1 (3; 2). Уравнение прямой y=kx плюс b, проходящей через эту точку, можно записать в виде y=k(x минус 3) плюс 2. Уравнение касательной можно найти из условия, что уравнение

 дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =k(x минус 3) плюс 2

имеет два равных корня x_1=x_2 на (0; плюс принадлежит fty ). Составим

 дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус kx плюс 3k минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби =0 равносильно 4k в квадрате минус 12k плюс 5=0 равносильно совокупность выражений k_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x_1=x_2=1; k_2= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , x_1=x_2=5. конец совокупности .

Таким образом, мы имеем две касательные: если k= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , то y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; если k=5, то y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби x плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби . Для обратных функций получим соответственно y=2x минус 1 и y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби x плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3616

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1995 год, работа 6, вариант 1
? Классификатор: Касательная к графику функции
?
Сложность: 5 из 10