РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3602

Исследуйте функцию $y=x в кубе плюс 6x в квадрате$ и постройте ее график.

Спрятать решение

Решение.

Данная функция определена и дифференцируема на ℝ. Производная равна

$y'=3x в квадрате плюс 12x равносильно y'=3x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка ;$

ее критические точки $x= минус 4$ и $x=0.$ На $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 4 правая круглая скобка$ производная $y' больше 0$ и функция возрастает; на $левая круглая скобка минус 4; 0 правая круглая скобка$ производная $y' меньше 0$ и функция убывает; на $левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка$ производная $y' больше 0$ и функция возрастает. Таким образом, непрерывная на ℝ функция у имеет три промежутка монотонности. Поэтому точка $x= минус 4$ является точкой экстремума (максимум), $y левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка = минус 64 плюс 96=32,$ а $x=0$ является точкой минимума, $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0.$ В данном случае можно найти также нули функции $x=0$ и $x= минус 6.$ Для построения графика определим еще несколько дополнительных точек:

x	−5	−2	−1	1	2
y	25	16	5	7	32

Теперь можно построить график, используя полученные свойства функции и значения в некоторых точках (см. рис.).

Ответ: см. рис.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3596

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1995 год, работа 5, вариант 2

? Классификатор: Исследование функций, Построение графиков функций, графиков уравнений

Сложность: 3 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь