Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3596

Исследуйте функцию y=2x в кубе плюс 3x в квадрате и постройте ее график.

Спрятать решение

Решение.

Функция определена и дифференцируема на ( минус принадлежит fty ; плюс принадлежит fty ). Производная равна

y'=6x в квадрате плюс 6x равносильно y'=6x(x плюс 1).

Ее критические точки x=0 и x= минус 1 (см. рис.), на ( минус принадлежит fty ; минус 1] функция возрастает; на [ минус 1 ; 0] функция убывает; на [0 ; плюс принадлежит fty ) функция возрастает. Следовательно, x= минус 1 точка экстремума (максимум), y( минус 1)=1; x=0 — тоже точка экстремума (минимум), y(0)=0. Функция свойствами четности и нечетности не обладает. В данном случае можно указать корни функции x=0 и x= минус \farc32. Для построения графика возьмем несколько дополнительных его точек.

 

x−2− дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби 1
y−4 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби 5

 

Теперь можно построить график, используя выявленные свойства функции (см. рис.).

 

Ответ: см. рис.

 

Заметим, что в процессе исследования функций совершенно необязательно указывать на ее четность и нечетность, или периодичность, особенно, если она не обладает этими свойствами, и уж во всяком случае не нужно обосновывать отсутствие этих свойств. Нахождение корней или тем более промежутков знакопостоянства вообще не входит в схему исследования. Например, корни функции y=2x в кубе плюс 3x в квадрате минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби иррациональны, и их «школьными» методами определить невозможно; тем не менее, ученик может успешно построить ее график.

Отметим также, что данное задание соответствует обязательному уровню. В «Стандартах» в качестве примера исследования и построения графиков взята функция f(x)=12x минус x в кубе .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3602

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1995 год, работа 5, вариант 1
? Классификатор: Исследование функций, Построение графиков функций, графиков уравнений
?
Сложность: 3 из 10