Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3556
i

Най­ди­те урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции y=x в кубе , где x боль­ше или равно 0, от­се­ка­ю­щей на осях ко­ор­ди­нат тре­уголь­ник пло­ща­дью дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть ис­ко­мая пря­мая ка­са­ет­ся гра­фи­ка функ­ции y=x в кубе в точке M левая круг­лая скоб­ка t; t в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка , где t боль­ше 0 (тре­уголь­ник от­се­чет­ся толь­ко в слу­чае t не равно 0, т. е. t боль­ше 0). Тогда ее уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент k=y' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =3t в квад­ра­те , а ее урав­не­ние

y=3t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус t пра­вая круг­лая скоб­ка плюс t в кубе рав­но­силь­но y=3t в квад­ра­те x минус 2t в кубе .

Най­дем точки Ах и Ау пе­ре­се­че­ния дан­ной пря­мой с осями ко­ор­ди­нат: y левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2t в кубе , т. е. Ау левая круг­лая скоб­ка 0; минус 2t в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка ; и 3t в квад­ра­те x минус 2t в кубе =0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби t, где t боль­ше 0, т. е. Аx левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби t; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Тогда

S_OA_xA_y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби OA_x умно­жить на OA_y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби | минус 2t в кубе | умно­жить на \left | дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби t |= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби t в сте­пе­ни 4 .

По усло­вию за­да­чи дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби t в сте­пе­ни 4 = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но t в сте­пе­ни 4 =1, т. к. t боль­ше 0, то t  =  1. Тогда ис­ко­мое урав­не­ние ка­са­тель­ной y=3x минус 2.

 

Ответ: y=3x минус 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3550

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей , Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 5 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025