Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3550
i

Най­ди­те урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби , где x боль­ше 0, от­се­ка­ю­щей на осях ко­ор­ди­нат тре­уголь­ник пло­ща­дью 2,25.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть дан­ная пря­мая ка­са­ет­ся гра­фи­ка функ­ции y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби в точке M левая круг­лая скоб­ка t; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , t боль­ше 0. Так как y'= минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x в кубе конец дроби , то уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент рас­смат­ри­ва­е­мой пря­мой k=y' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: t в кубе конец дроби , а само урав­не­ние ка­са­тель­ной есть y= минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: t в кубе конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус t пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби , или y= минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: t в кубе конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби . Най­дем точки пе­ре­се­че­ния Ах и Ау дан­ной пря­мой с осями ко­ор­ди­нат:

y левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: t в кубе конец дроби умно­жить на 0 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби , т. е. Ау левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ;

и  минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: t в кубе конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби =0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 3t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , т. е. A_x левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , где t боль­ше 0. Таким об­ра­зом, пло­щадь тре­уголь­ни­ка ОAхАу (O (0; 0)  — на­ча­ло ко­ор­ди­нат) равна

S= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби A_xO умно­жить на A_yO= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на \left | дробь: чис­ли­тель: 3t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби | умно­жить на \left | дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби |= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4t конец дроби .

По усло­вию за­да­чи S  =  2,25. Со­ста­вив со­от­вет­ству­ю­щее урав­не­ние, по­лу­чим  дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4t конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но t=1, от­ку­да точка ка­са­ния есть M(1; 1), а урав­не­ние ка­са­тель­ной y= минус 2x плюс 3.

 

Ответ: y= минус 2x плюс 3.

 

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что дан­ная за­да­ча, есте­ствен­но, вы­хо­дит за рамки обя­за­тель­ной под­го­тов­ки, од­на­ко имеет дело с изу­чен­ной функ­ци­ей y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби и не тре­бу­ет до­пол­ни­тель­ных зна­ний.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3556

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей , Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 5 из 10