PDF-версии: 
Сколько решений в зависимости от параметра a имеет уравнение 
Решение. Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Переписав уравнение в виде 
рассмотрим на совместном рисунке графики функций 
и 
(см. рис.). Первый график y1 не зависит от а и имеет вид графика функции 
с вершиной в точке 
График функции 
— прямая, проходящая через начало координат.
Будем изменять значения параметра a от 
до 
и определять соответствующее количество точек пересечения двух графиков и 
Нетрудно видеть, что имеются три критических значения параметра 
и 
при 
график параллелен одной из ветвей графика 
а при прямая проходит через вершину графика 
При изменении a от до прямая поворачивается по направлению против часовой стрелки между состояниями, близкими к вертикальным.
Если 
то, как видно из рисунка, графики пересекаются только в одной точке. При 
график 
пересекает график 
в двух точках (т. е. исходное уравнение имеет два решения). При имеется только одна точка пересечения двух графиков (вершина 
график y1). Если 
то графики y1 и y2 не пересекаются. И, наконец, при 
оба графика пересекаются в одной точке.
Ответ: при 
— нет решений; при 
— 1 решение; при 
— 2 решения.
Ⅱ способ. Перепишем уравнение в виде 
где 
не является корнем данного уравнения, и, таким образом, оно равносильно уравнению
а это уравнение имеет столько же решений, сколько и уравнение
Построим график функции (см. рис.)
которую можно записать иначе:
Рассмотрим, какие значения и сколько раз принимает данная функция. Из графика хорошо видно, что каждое значение из интервала 
она принимает один раз, а значения из промежутка 
не принимает вообще. Значение 
функция принимает один раз, каждое значение из интервала 
— два раза, а значение из промежутка 
— один раз. Таким образом, исходное уравнение при 
не имеет решений, при 
и 
имеет одно решение, а при два решения.
Ⅲ способ. Уравнение 
распадается на две системы:
Первая система при 
решений не имеет, а при 
примет вид 
и должно выполняться условие
т. е. 
или 
Таким образом, первая система имеет одно решение при 
и не имеет решений при 
Вторая система при 
может иметь одно решение 
если оно удовлетворяет неравенству
Следовательно, вторая система при 
имеет одно решение, а при 
решений не имеет. Таким образом, получаем результаты, которые показаны на рисунке, «закрашенная» часть кружочка отвечает случаю существования решения соответствующей системы, — при выделенном значении параметра.
Заметим, что в силу несовместимости неравенств 
и 
системы имеют разные решения. Мы получаем, таким образом, следующие результаты для количества решений исходного уравнения при каждом значении параметра a (рисунок наглядно это показывает): — нет решений, и — одно решение, — два решения.
Замечание. Учащийся не обязан рассматривать изменение значений параметра в определенном порядке, подобно тому, как мы делали при решении этой задачи первыми двумя способами. Например, при решении аналогичной задачи варианта Ⅱ мы намеренно не придерживаемся естественного упорядочения. Вместе с тем убеждены, что упорядочение перебора (там, где это возможно) значений переменной, параметра — весьма полезный и в определенном смысле необходимый прием рационализации решения задачи и страхования от некоторых типов ошибок.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
— нет решений; при — 1 решение; при — 2 решения. — нет решений; при — 1 решение; при — 2 решения.