Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3524
i

Най­ди­те абс­цис­сы всех таких точек гра­фи­ка функ­ции y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x минус ко­си­нус x плюс x, уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной в ко­то­рых равен 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Дан­ная функ­ция опре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на  R , ее про­из­вод­ная

y'= ко­си­нус 2x плюс синус x плюс 1.

Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной в точке гра­фи­ка с абс­цис­сой t равен зна­че­нию про­из­вод­ной в этой точке. Таким об­ра­зом, для вы­пол­не­ния усло­вия за­да­чи не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но ре­шить урав­не­ние y' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =1, тогда

 ко­си­нус 2t плюс синус t плюс 1=1 рав­но­силь­но ко­си­нус 2t плюс синус t=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ко­си­нус 2t плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус t пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

От­сю­да

1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n рав­но­силь­но t= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z ,

2 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k рав­но­силь­но t= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , k при­над­ле­жит Z .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 4n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 4k плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка : n, k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

В дан­ном от­ве­те есть по­вто­ря­ю­щи­е­ся корни. На наш взгляд, при такой форме от­ве­та школь­ник не обя­зан их вы­яв­лять, хотя, ко­неч­но, ответ  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 4k плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка лучше. За­ме­тим, что можно при­ме­нить дру­гой спо­соб ре­ше­ния урав­не­ния  ко­си­нус 2t плюс синус t=0:

1 минус 2 синус в квад­ра­те t плюс синус t=0 рав­но­силь­но 2 синус в квад­ра­те t минус синус t минус 1=0.

Пусть  синус t=u, тогда

2u в квад­ра­те минус u минус 1=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний u=0,u= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к за­ме­не пе­ре­мен­ной, по­лу­чим

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус t=1, синус t= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,t= левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . n, k при­над­ле­жит Z .

При этом ва­ри­ан­те ре­ше­ния по­вто­ря­ю­щих­ся кор­ней нет.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3530

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 9, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 3 из 10