Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3501

Решите уравнение  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x плюс косинус в квадрате x=4 косинус 2x и укажите какое-нибудь его решение, удовлетворяющее неравенству  Пи x минус x в квадрате больше 0.

Спрятать решение

Решение.

Покажем несколько способов.

Ⅰ  способ. Приведение к однородному уравнению. Преобразуем исходное уравнение

 синус x умножить на косинус x плюс косинус в квадрате x=4( косинус в квадрате x минус синус в квадрате x) равносильно 4 синус в квадрате x плюс синус x умножить на косинус x минус 3 косинус в квадрате x=0. \qquad(1)

Легко видеть, что x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z не является корнем данного уравнения, поэтому оно равносильно уравнению 4 тангенс в квадрате x плюс тангенс x минус 3=0. Можно сказать и иначе: для решений уравнения (1)  косинус x не равно 0, и поэтому обе его части можно разделить на  косинус в квадрате x. Пусть  тангенс x=t, тогда последнее уравнение можно привести к виду 4t в квадрате плюс t минус 3=0. Его корни t_1= минус 1 и t_2= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . Решение исходного уравнения сводится к совокупности:

 совокупность выражений тангенс = минус 1, тангенс = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, x=\arctg дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .

 

Ответ: \left\ минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; \arctg дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n : k, n принадлежит Z \; неравенству  Пи x минус x в квадрате больше 0 удовлетворяет, например, решение  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ⅱ  способ. Приведение к виду a косинус z плюс b синус z=c. Воспользуемся равенством a косинус z плюс b синус z= корень из (a в квадрате плюс b в квадрате ) умножить на косинус (z минус \varphi),

где  косинус \varphi= дробь: числитель: a, знаменатель: корень из (a в квадрате плюс b в квадрате ) конец дроби и  синус \varphi= дробь: числитель: b, знаменатель: корень из (a в квадрате плюс b в квадрате ) конец дроби . Сначала приведем исходное уравнение к виду

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (1 плюс косинус 2x)=4 косинус 2x равносильно синус 2x минус 7 косинус 2x= минус 1 равносильно 7 косинус 2x минус синус 2x=1.

Таким образом,  косинус (2x плюс \varphi)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби корень из 2 , отсюда

2x плюс \varphi= \pm \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 корень из 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

Так как

 синус \varphi= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 корень из 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус \varphi=\arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 корень из 2 конец дроби равносильно \varphi= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 корень из 2 конец дроби .

Поэтому

2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 корень из 2 конец дроби = \pm \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 корень из 2 конец дроби плюс 2 Пи k.

Рассмотрим оба случая:

1)2x=2\arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 корень из 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x=\arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 корень из 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k.

2)2x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n.

Ответ: \left \\arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 корень из 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n : k, n принадлежит Z \; неравенству  Пи x минус x в квадрате больше 0 удовлетворяет, например, \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 корень из 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , так как  Пи больше \arccos дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 корень из 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби больше 0.

 

Замечание. При различных способах решения могут получаться различные по виду ответы.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3507

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1994 год, работа 7, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 4 из 10