За­да­чу можно ре­шить тремя спо­со­ба­ми.

Ⅰ спо­соб. По­стро­им гра­фи­ки обеих ча­стей ис­ход­но­го урав­не­ния. На ри­сун­ке даны при­ме­ры гра­фи­ков левой части для также и Будем из­ме­нять па­ра­метр b от − ∞ до + ∞. На рис. 1 видно, что при гра­фи­ки обеих ча­стей ис­ход­но­го урав­не­ния не пе­ре­се­ка­ют­ся, т. е. урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. При урав­не­ние имеет одно ре­ше­ние, это абс­цис­са точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка функ­ции с левой вет­вью гра­фи­ка функ­ции т. е. с той, для ко­то­рой и, сле­до­ва­тель­но, ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид От­сю­да При оба гра­фи­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в двух точ­ках.

Ответ: при урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние:

Ⅱ спо­соб. Вве­дем функ­цию За­да­чу можно пе­ре­фор­му­ли­ро­вать сле­ду­ю­щим об­ра­зом: «Опре­де­лить все зна­че­ния па­ра­мет­ра b, при ко­то­рых функ­ция g имеет един­ствен­ный ко­рень, и найти этот ко­рень». Рас­смот­рим гра­фи­ки функ­ции g при раз­лич­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра b. При х  =  3 имеем g  =  −4. Рас­кро­ем мо­дуль в вы­ра­же­нии, ко­то­рое за­да­ет функ­цию g:

На ри­сун­ке пред­став­ле­ны при­ме­ры гра­фи­ков функ­ции g для также и Будем из­ме­нять па­ра­метр b от − ∞ до + ∞. При этом, как видно из вы­ра­же­ний для уг­ло­вых ко­эф­фи­ци­ен­тов в фор­му­лах (А) и (Б), каж­дая ветвь гра­фи­ка по­сте­пен­но под­ни­ма­ет­ся снизу вверх. При обе ветви на­прав­ле­ны вниз (см. гра­фик, изоб­ра­жен­ный сплош­ной тол­стой ли­ни­ей на рис. 2) и, в силу (Б), с осью Ох не пе­ре­се­ка­ют­ся. По­это­му функ­ция g не имеет кор­ней. При (круп­ный штрих на рис. 2) левая ветвь па­рал­лель­на оси Ох, а пра­вая на­прав­ле­на вниз. Зна­чит, у функ­ции g кор­ней нет. При левая ветвь пе­ре­се­ка­ет­ся с осью Ох. В ка­че­стве при­ме­ра на ри­сун­ке дан гра­фик функ­ции g для (частая штри­хов­ка). При пра­вая ветвь на­прав­ле­на вниз, а левая пе­ре­се­ка­ет ось Ох, т. е. функ­ция g имеет един­ствен­ный ко­рень. То же самое  — при b  =  1, когда пра­вая ветвь го­ри­зон­таль­на (линия штрих-пунк­тир на ри­сун­ке). При пра­вая ветвь тоже пе­ре­се­ка­ет­ся с осью Ох.

Мы видим, что един­ствен­ный ко­рень по­лу­ча­ет­ся при и при пе­ре­се­че­нии левой ветви с осью Ох, от­ку­да по­лу­ча­ем тот же ответ, что и рань­ше.

Ⅲ спо­соб. Рас­смат­ри­вая ли­ней­ные функ­ции (А), (Б), по­лу­ча­ем, что левая ветвь гра­фи­ка функ­ции g пе­ре­се­ка­ет ось Ох при а пра­вая ветвь  — при Таким об­ра­зом, един­ствен­ность корня функ­ции g обес­пе­чи­ва­ет­ся сле­ду­ю­щей со­во­куп­но­стью си­стем не­ра­венств:

Пер­вая си­сте­ма дан­ной со­во­куп­но­сти не­сов­мест­на. Вто­рая из за­пи­сан­ных си­стем имеет ре­ше­ние За­ме­тим: не­ра­вен­ство озна­ча­ет, что един­ствен­ный ко­рень функ­ции g по­лу­ча­ет­ся в ре­зуль­та­те пе­ре­се­че­ния левой ветви гра­фи­ка с осью Ох, от­ку­да по­лу­ча­ем тот же ответ.