Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3436
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y минус x в квад­ра­те =0 и y в квад­ра­те плюс x=0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пер­вая линия  — па­ра­бо­ла (см. рис.). По­стро­им вто­рую линию. Она за­да­ет­ся урав­не­ни­ем y в квад­ра­те плюс x=0, или y в квад­ра­те = минус x. От­сю­да видно, что x мень­ше или равно 0 т. е. вто­рая линия на­хо­дит­ся во вто­рой и тре­тьей чет­вер­тях и пред­став­ля­ет собой па­ра­бо­лу x= минус y в квад­ра­те (здесь y  — не­за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная). На ри­сун­ке фи­гу­ра, огра­ни­чен­ная дан­ны­ми ли­ни­я­ми, за­штри­хо­ва­на. Она на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти (это можно по­ка­зать и ана­ли­ти­че­ски). Тогда, по­сколь­ку при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно x в квад­ра­те боль­ше или равно 0,

 S = ин­те­грал пре­де­лы: от минус 1 до 0, левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от минус 1 до 0, = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

За­ме­ча­ние

Ис­ко­мую пло­щадь S можно найти как ин­те­грал от раз­но­сти функ­ций y=x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и y=x в квад­ра­те на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , так как на этом мно­же­стве x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , то

 S = ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 1, левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx } = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 0 до 1, = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3430

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 5 из 10