Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3425
i

Ука­жи­те все пер­во­об­раз­ные функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =5 плюс 2x минус 3x в квад­ра­те , гра­фи­ки ко­то­рых имеют с гра­фи­ком функ­ции f(x) ровно две общие точки.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­пи­шем общий вид пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x): F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =5x плюс x в квад­ра­те минус x в кубе плюс c. По усло­вию урав­не­ние

5 плюс 2x минус 3x в квад­ра­те =5x плюс x в квад­ра­те минус x в кубе плюс c рав­но­силь­но x в кубе минус 4x в квад­ра­те минус 3x плюс 5 минус c=0

долж­но иметь ровно два раз­лич­ных корня. Пусть \varphi левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе минус 4x в квад­ра­те минус 3x плюс 5 минус с. Ис­сле­ду­ем \varphi левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка :

\varphi' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3x в квад­ра­те минус 8x минус 3=3 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Из таб­ли­цы мо­но­тон­но­сти функ­ции \varphi левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка (см. рис.) видно, что x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби яв­ля­ет­ся точ­кой мак­си­му­ма, а x=3 точка ми­ни­му­ма.

За­ме­тим, что если \varphi левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и \varphi левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка имеют оди­на­ко­вые знаки, то у урав­не­ния \varphi левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 един­ствен­ный ко­рень, а если у \varphi левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и \varphi левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка раз­ные знаки, то у урав­не­ния \varphi левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 су­ще­ству­ют 3 раз­лич­ных корня: по од­но­му на каж­дом из ин­тер­ва­лов  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Оста­ет­ся един­ствен­ная воз­мож­ность  — одно из зна­че­ний \varphi левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка или \varphi левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка равно нулю. Най­дем те зна­че­ния c, при ко­то­рых это про­изойдёт:

\varphi левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе минус 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5 минус c= целая часть: 5, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 27 минус c=0 рав­но­силь­но c= целая часть: 5, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 27

и

\varphi левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в кубе минус 4 умно­жить на 3 в квад­ра­те минус 3 умно­жить на 3 плюс 5 минус c= минус 13 минус c=0 рав­но­силь­но c= минус 13.

В ка­че­стве ил­лю­стра­ции при­ве­дем два эс­ки­за, по­яс­ня­ю­щих опи­сан­ные си­ту­а­ции (рис. а, б).

a)  

б)  

Ответ: F_1 левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус x в кубе плюс x в квад­ра­те плюс 5x минус 13 и F_2 левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус x в кубе плюс x в квад­ра­те плюс 5x плюс целая часть: 5, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 27 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3419

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 11, ва­ри­ант 2
? Классификатор: На­хож­де­ние пер­во­об­раз­ных
?
Сложность: 6 из 10