PDF-версии: 
Укажите все первообразные функции 
графики которых имеют с графиком функции f(x) ровно две общие точки.
Решение. Запишем общий вид первообразных функции f(x): 
По условию уравнение
должно иметь ровно два различных корня. Пусть 
Исследуем 
Из таблицы монотонности функции 
(см. рис.) видно, что 
является точкой максимума, а 
точка минимума.
Заметим, что если 
и 
имеют одинаковые знаки, то у уравнения 
единственный корень, а если у и разные знаки, то у уравнения существуют 3 различных корня: по одному на каждом из интервалов 
и 
Остается единственная возможность — одно из значений или равно нулю. Найдем те значения c, при которых это произойдёт:
и
В качестве иллюстрации приведем два эскиза, поясняющих описанные ситуации (рис. а, б).
a)
б)
Ответ: 
и 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и и