РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3365

Решите систему уравнений $система выражений y в степени левая круглая скобка 1 минус 0,2 логарифм по основанию x y правая круглая скобка =x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка ,2 плюс логарифм по основанию x левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 3y, знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию x 4. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Логарифмируя обе части первого уравнения по основанию x, получим

$логарифм по основанию x y левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби логарифм по основанию x y правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби равносильно логарифм по основанию x в квадрате y минус 5 логарифм по основанию x y плюс 4=0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию x y=1, логарифм по основанию x y=4. конец совокупности .$

Отсюда следует, что $y=x$ или $y=x в степени 4$ при условии $x больше 0$ и $x не равно 1.$ Учитывая последние равенства, подставим во второе уравнение системы вместо y сначала x, а потом x⁴. Получим две системы:

$система выражений y=x,2 плюс логарифм по основанию x левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию x 4, конец системы .$

$система выражений y=x в степени 4 ,2 плюс логарифм по основанию x левая круглая скобка 1 минус 3x в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию x 4. конец системы .$

Решаем второе уравнение первой системы

$2 плюс логарифм по основанию x левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию x 4 равносильно логарифм по основанию x x в квадрате левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию x 4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию x левая круглая скобка x в квадрате минус 3x правая круглая скобка = логарифм по основанию x 4 равносильно x в квадрате минус 3x=4 равносильно совокупность выражений x_1=4,x_2= минус 1. конец совокупности .$ $2 плюс логарифм по основанию x левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию x 4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию x x в квадрате левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию x 4 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию x левая круглая скобка x в квадрате минус 3x правая круглая скобка = логарифм по основанию x 4 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 3x=4 равносильно совокупность выражений x_1=4,x_2= минус 1. конец совокупности .$

Но поскольку $x больше 0$ и $x не равно 0,$ корень x₂  — посторонний. Пара $x=4$ и $y=4$ является решением исходной системы. Для второго уравнения второй системы $2 плюс логарифм по основанию x левая круглая скобка 1 минус 3x в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию x 4$ имеем: $логарифм по основанию x x в квадрате левая круглая скобка 1 минус 3x в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию x 4,$ откуда следует $3x в степени 4 минус x в квадрате плюс 4=0.$ Последнее уравнение, а вместе с ним и вторая система, решений не имеет.

Ответ: $x=4$ и $y=4.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3359

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1993 год, работа 6, вариант 2

? Классификатор: Смешанные системы

Сложность: 6 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь