Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3329
i

Най­ди­те все b, при ко­то­рых урав­не­ния  ко­си­нус x минус синус x=1 и  синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =b имеют хотя би один ко­рень.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние таким об­ра­зом:

 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0, синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0. конец со­во­куп­но­сти .

При b=0 (и толь­ко в этом слу­чае) урав­не­ния  синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 и  синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =b имеют общий ко­рень. Если  синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0, то  тан­генс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус 1, по­лу­чим  дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, где k при­над­ле­жит Z . При таких x  синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби равен либо  минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби (при чет­ных k), либо  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби (при не­чет­ных k). Таким об­ра­зом, два за­дан­ных урав­не­нии имеют хотя бы один общий ко­рень при зна­че­ни­ях b, рав­ных 0, \pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0; дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3323

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 6 из 10